SuperNotes by yuri.rodrix

Notas de Yuri.Rodrix

Página tipo blog en el que voy a publicar mis notas de aprendizaje, en especial de temas como matemáticas, física y quizá algo de programación

Redes neuronales
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La energía no viaja por el cable

Nos enseñan los circuitos con dos números —voltaje y corriente— y con el tiempo parece que eso es la electricidad. Pero cuando enciendes una bombilla, la energía que la alimenta nunca estuvo dentro del cobre. Viajó por el espacio de alrededor, en los campos. El cable solo la guió. Es la tesis del célebre video de Veritasium, y este post la sostiene con el mismo simulador FDTD del que salen las antenas de esta serie: un solver que no conoce ni el voltaje ni la corriente —solo E\mathbf E y H\mathbf H— y aun así lo reproduce todo.

Una potencia, dos contabilidades

Empecemos por lo previo. La potencia que entrega una fuente la conoces como el producto de tensión por corriente. Pero esa misma potencia tiene una segunda cara, escrita enteramente en términos de campos:

P=V I⏟circuitos (lo previo)=∮S(E×H)⋅dA⏟campos (Poynting, lo real)P=\underbrace{V\,I}_{\text{circuitos (lo previo)}}=\underbrace{\oint_{S}(\mathbf E\times\mathbf H)\cdot d\mathbf A}_{\text{campos (Poynting, lo real)}}

La izquierda no es falsa: es una aproximación, válida cuando el camino donde defines VV es corto frente a la longitud de onda. La derecha es exacta siempre. El paso de una a la otra es todo el viaje de este post: de lo previo (V, I) a lo nuevo (los campos).

El voltaje no es fundamental

El voltaje es una cantidad derivada. Se define integrando el campo a lo largo de un camino:

V=−∫abE⋅dℓV=-\int_a^b \mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell

Y aquí está lo incómodo: en régimen de onda completa esa integral depende del camino. «El voltaje de este conductor» no está bien definido en general — solo lo está cuando el camino es corto comparado con λ\lambda, donde el problema se vuelve cuasi-estático. Por eso los circuitos funcionan: no porque el voltaje sea real, sino porque a baja frecuencia la aproximación es buenísima.

En el kernel del simulador esto es literal: las ecuaciones que se resuelven son los dos rotacionales de Maxwell para E\mathbf E y H\mathbf H. En ninguna aparece una VV. Cuando el simulador reporta una impedancia, la calcula a posteriori integrando el campo en un tramo corto — nunca la almacena.

El vector de Poynting, y por qué el cobre está vacío

La energía fluye donde apunta S=E×H\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H: es densidad de flujo de potencia, con dirección.

S=E×H[Wm2]\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H\qquad\left[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}\right]

Ahora el golpe. Dentro de un conductor perfecto el campo eléctrico es cero. Por lo tanto:

dentro del conductor: E=0 ⇒ S=E×H=0\text{dentro del conductor: }\mathbf E=0\ \Rightarrow\ \mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H=0

Cero flujo de energía dentro del metal. Y no es una interpretación: es lo que el kernel impone por construcción. La función applyPEC\texttt{applyPEC} pone a cero el campo tangencial en cada arista que toca un conductor, así que hace físicamente imposible que la energía viaje por el cobre. Toda la potencia va por el dieléctrico de al lado.

La prueba más limpia está en una microstrip. En el simulador, una línea sobre FR4 da una onda que viaja a c/εeffc/\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}:

v=cεeff,εeff≈3.33  (ni 4.4 del FR4, ni 1 del aire)v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}},\qquad \varepsilon_{\text{eff}}\approx 3.33\ \ (\text{ni }4.4\text{ del FR4, ni }1\text{ del aire})

Pregúntate: si la energía viajara por el cobre, ¿por qué la velocidad dependería de la permitividad del FR4? No tendría sentido. Y hay un segundo nivel: εeff\varepsilon_{\text{eff}} no es 4.4 ni 1, está en medio, porque el campo está repartido entre el sustrato y el aire, y la velocidad promedia según dónde está realmente la energía. Ese número intermedio es un mapa de la distribución del campo.

Míralo tú. En el simulador FDTD de antenas elige el preset «Microstrip única (energía en el hueco, no en el cobre)» y pon la vista en corte YZ: verás la pista arriba, el plano abajo, y todo el campo viviendo en el hueco entre los dos. Dentro del cobre: negro.

FR4 (εr)plano de tierra (E=0)pistaS = E×H (la energía)La energía va por el hueco, no por el cobredentro del metal E=0 ⇒ S=0
Corte transversal (YZ) de la microstrip: el campo E salta de la pista al plano, perpendicular a ambos, y la energía fluye por ese hueco. El cobre está vacío.

Y no es solo un esquema. Así se ve el campo real del simulador alrededor de un conductor, capturado con el plane helper — E en rojo, H en azul:

Campo E (rojo) y H (azul) del simulador FDTD alrededor de un conductor: el campo llena el espacio de alrededor y el metal queda oscuro por dentro
El campo real llena el espacio alrededor del conductor —el ∣E∣|\mathbf E| más intenso pegado a su superficie— y las flechas rojas llegan al metal casi perpendiculares. Por dentro del cobre, oscuro: ahí no hay campo, ni energía.

Por qué la normal salta y la tangencial no

La forma intuitiva: piensa en la fuente y en cómo responden las cargas

Antes de las integrales, hay una manera más directa de verlo —y creo que es la mejor. Pregúntate qué le hace la fuente a las cargas libres del metal, según cómo la orientes:

E+++++se apilan y se quedan (σ)
Fuente normal → las cargas se apilan quietas: sostienen el salto.
Eₜcorriente Kse mueven → cancelan Eₜ
Fuente tangencial → las cargas se mueven (corriente): cancelan el campo.
  • Fuente normal a la superficie. Empuja las cargas contra la cara del metal, que se apilan ahí y se quedan quietas. Esa capa de carga σ\sigma es la que sostiene un campo distinto a cada lado: la normal salta, y el salto es la carga acumulada.
  • Fuente tangencial a la superficie. Ahora el empuje es a lo largo de la cara, así que las cargas se mueven — y unas cargas moviéndose son una corriente K\mathbf K. Ese movimiento reordena las cargas justo hasta cancelar el campo tangencial. Por eso EtE_t se apaga: no hay una configuración quieta que lo sostenga, y la móvil lo destruye.

Y esto no es teoría de pizarra: se puede montar en el simulador. Estas dos son capturas reales con el plane helper — orientas la fuente respecto al plano y miras el campo que resulta (E rojo, H azul):

Simulador FDTD, fuente normal al plano: el campo E emerge perpendicular a la superficie
Fuente normal al plano: E\mathbf E (rojo) sale denso y perpendicular a la superficie.
Simulador FDTD, fuente tangencial al plano sobre el plano de tierra
Fuente tangencial: la excitación corre a lo largo del plano de tierra — el mismo mecanismo del dibujo, ahora resuelto por Maxwell.

Ahí está la asimetría, con tus palabras: la carga se puede apilar quieta (y sostener la normal), pero contra un empuje tangencial las cargas solo pueden moverse — y al moverse lo cancelan. Un matiz para dejarlo fino: la continuidad de EtE_t al cruzar no la causa ninguna carga (es gratis, la da Faraday); lo que las cargas hacen es llevar esa continuidad hasta Et=0E_t=0 dentro del conductor.

Y esto es exacto: las dos leyes que lo demuestran

Formalizar esa intuición es aplastar una espira o una cajita sobre la superficie y hacerla infinitamente delgada. Lo que sobreviva, manda:

alto→0++++E=σ/ε₀E=0 (metal)
Gauss (caja): la carga superficial sobrevive al aplastado → la normal salta.
área→0Eₜ→0E=0 (metal)
Faraday (espira): el flujo magnético se anula con el área → la tangencial es continua (=0).
∮E⋅dA=Qencε0⏟Gauss (caja) → alto→0  Enfuera=σε0\underbrace{\oint \mathbf E\cdot d\mathbf A=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}}_{\text{Gauss (caja)}}\ \xrightarrow{\ \text{alto}\to0\ }\ E_{n}^{\text{fuera}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}

Caja (Gauss). Al aplastarla, la carga no se anula: es una densidad de superficie, no depende del alto. Sobrevive y sostiene el salto — es la fuente que se apila del dibujo de arriba.

∮E⋅dℓ=−dΦBdt⏟Faraday (espira) → aˊrea→0  Et(1)=Et(2)⏟condicioˊn de frontera → conductor  Et=0\underbrace{\oint \mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=-\frac{d\Phi_B}{dt}}_{\text{Faraday (espira)}}\ \xrightarrow{\ \text{área}\to0\ }\ \underbrace{E_t^{(1)}=E_t^{(2)}}_{\text{condición de frontera}}\ \xrightarrow{\ \text{conductor}\ }\ E_t=0

Espira (Faraday). Al aplastarla (h→0h\to0), el área se va a cero y con ella el flujo magnético, así que el lado derecho se anula. Lo único que puede cumplir la espira entonces es que la componente tangencial sea la misma en los dos medios (Et(1)=Et(2)E_t^{(1)}=E_t^{(2)}): esa es la condición de frontera. En un conductor cae el caso particular — como dentro vale 0, fuera también, Et=0E_t=0.

Arrástralo: descompón E en la frontera

Mueve la punta de E\mathbf E sobre la superficie del conductor. La componente normal sobrevive, sostenida por la carga; la tangencial la cortocircuita una corriente superficial. Cambia entre conductor perfecto e interfaz dieléctrica para ver qué mecanismo actúa en cada caso.

EnE_n = 1.5EtE_t = 0 (aplicaste 1.5, la corriente lo anuló)∣E∣|\mathbf E| = 2.12

La componente normal sobrevive y está sostenida por la carga superficial (más campo ⇒ más carga: es En=σ/ε0E_n=\sigma/\varepsilon_0). La tangencial la cortocircuita una corriente superficial: J=σEt\mathbf J=\sigma\mathbf E_t con σ→∞\sigma\to\infty obliga a Et→0E_t\to 0.

Carga quieta, corriente en movimiento

Es tentador llamar «cargas superficiales» a todo, pero son dos fenómenos distintos, y separarlos es la clave. La carga σ\sigma son cargas quietas, apiladas: sostienen el salto de la componente normal. La corriente K\mathbf K son cargas en movimiento a lo largo de la superficie: aparean con el salto de la componente tangencial de H\mathbf H, y son las que anulan la tangencial de E\mathbf E.

Ese último punto es lo que ves en el lab. En un conductor real la corriente sigue a la ley de Ohm; para conductividad infinita la única salida es que el campo tangencial se apague:

J=σ Et → σ→∞  Et→0\mathbf J=\sigma\,\mathbf E_t\ \xrightarrow{\ \sigma\to\infty\ }\ \mathbf E_t\to 0

El campo tangencial queda cortocircuitado por la propia corriente que crearía. Ese Et=0E_t=0 es exactamente el que applyPEC\texttt{applyPEC} clava a mano en el kernel — solo que ahora sabes de dónde sale: es el estado final de esa relajación.

El conductor es un molde, no una tubería

Junta las dos ideas. La energía va donde hay E×H\mathbf E\times\mathbf H, y eso es el hueco entre los conductores. En ese hueco, E\mathbf E va de un conductor al otro: perpendicular a ambos, porque tiene que serlo. El metal no empuja la energía —le da forma al campo, lo obliga a ser normal en la superficie— y esa forma es la que guía la energía por el hueco de al lado.

De aquí sale directamente la regla de oro de integridad de señal: cortar un plano de tierra bajo una pista es catastrófico. No por ningún tema de «voltaje», sino porque obligas a la corriente de retorno a rodear el corte, y ese lazo enorme radia y se acopla a lo que tenga al lado. El plano no es «tierra» porque valga cero: es tierra porque es por donde vuelve la corriente.

Dónde vive esto en el simulador

El kernel FDTD no sabe nada de circuitos, y aun así cumple todo lo anterior porque integra las mismas dos leyes: el update de E\mathbf E es Faraday/Ampère discreto (la continuidad tangencial está horneada en cómo las aristas Yee comparten valores); applyPEC\texttt{applyPEC} pone a cero las aristas tangenciales que tocan el metal (el resultado de la espira); y la componente normal, que lleva la carga, queda libre. La corriente K\mathbf K es justo lo que el modelo de alambre fino deposita como J\mathbf J en la arista del conductor.

Este post es el puente entre las ecuaciones de Maxwell y el simulador FDTD de antenas: una vez que aceptas que los campos son lo real y V·I la contabilidad, el salto al solver deja de ser un misterio y se vuelve la lectura natural de lo que ya sabías.