SuperNotes by yuri.rodrix

Notas de Yuri.Rodrix

Página tipo blog en el que voy a publicar mis notas de aprendizaje, en especial de temas como matemáticas, física y quizá algo de programación

Redes neuronales
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Electrodinámica

En la serie ya tienes el operador ∇ del cálculo multivariable y la idea de un campo (una flecha en cada punto). Pero las ecuaciones de Maxwell no hablan solo de campos: hablan de carga, corriente y de las constantes del material. Antes de leerlas conviene conocer a esos personajes de forma material y objetiva —no como letras sueltas— y de paso resolver una duda que a casi todos nos pasa: si la corriente es «coulombs por segundo», ¿dónde entra la velocidad? Como apoyo más físico tienes Física III y Magnetostática.

I=dqdt⏟tasa temporal (C/s)=ρ A v⏟cilindro v Δt=∬SJ⋅dA⏟flujo (M3),J=ρ vI=\underbrace{\dfrac{dq}{dt}}_{\text{tasa temporal (C/s)}}=\underbrace{\rho\,A\,v}_{\text{cilindro }v\,\Delta t}=\underbrace{\iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf A}_{\text{flujo (M3)}},\qquad \mathbf J=\rho\,\mathbf v

La idea unificadora del post. La corriente es una sola cantidad vista de tres formas: una tasa temporal (cuánta carga pasa por segundo), un producto geométrico ρAv\rho A v (lo que barre un cilindro) y un flujo de la densidad J\mathbf J sobre la sección —la misma integral de M3. El simulador de abajo conecta las tres.

Carga: de puntual a densidad

La carga se mide en coulombs. Cuando no es un punto sino una nube —los electrones libres de un metal, el plasma de una antena— la describimos con su densidad de carga ρ\rho: cuántos coulombs hay por unidad de volumen.

ρ=dqdV[Cm3]\rho=\dfrac{dq}{dV}\quad\left[\tfrac{\text{C}}{\text{m}^3}\right]

Una carga puntual no es más que ρ\rho concentrada en un punto. Es, literalmente, la fuente que arrastrabas en el laboratorio de Gauss del post de Maxwell: cada carga, un grano de ρ\rho.

Corriente: carga en movimiento

Si esa carga se mueve, tenemos corriente. Y aquí está la duda honesta: la corriente es la tasa a la que cruza carga por una sección,

I=dqdt[Cs=A]I=\dfrac{dq}{dt}\quad\left[\tfrac{\text{C}}{\text{s}}=\text{A}\right]

—coulombs por segundo, sin ninguna distancia a la vista. Entonces, ¿por qué uno siente que la corriente tiene que ver con la velocidad? Porque la tiene, solo que escondida. Para ver cuánta carga cruza por segundo, encierra la sección de área AA y pregúntate qué cargas alcanzan a atravesarla en un tiempo Δt\Delta t: solo las que están a menos de v Δtv\,\Delta t de ella —esa es la distancia que faltaba—. Esas cargas llenan un cilindro de volumen A⋅(v Δt)A\cdot(v\,\Delta t):

dq=ρ (A v Δt)⏟volumen barrido⇒I=dqdt=ρ A vdq=\rho\,\underbrace{(A\,v\,\Delta t)}_{\text{volumen barrido}}\quad\Rightarrow\quad I=\dfrac{dq}{dt}=\rho\,A\,v

Manipúlalo. Cada esfera es carga a la deriva por un conductor de sección AA; las que están en ámbar son las del cilindro v Δtv\,\Delta t que cruzarán en el próximo instante. Sube la velocidad y el cilindro se alarga; sube la densidad o la sección y se llena más:

cargas azules a la deriva; en ámbar las que cruzarán la sección A en el próximo Δt
escena 3D (desplázate aquí)
velocidad vv1
densidad ρ\rho1
sección AA1

Armando la corriente, pieza por pieza

En una ventana Δt\Delta t, cruzan la sección las cargas dentro del cilindro de volumen A⋅(v Δt)A\cdot(v\,\Delta t) (la caja ámbar). Su carga es dq=ρ A v Δtdq=\rho\,A\,v\,\Delta t, así que:

I=dqdt=ρ⏟1⋅A⏟1⋅v⏟1=1J=ρv=1I=\frac{dq}{dt}=\underbrace{\rho}_{1}\cdot\underbrace{A}_{1}\cdot\underbrace{v}_{1}=1\qquad J=\rho v=1

La velocidad sí está en la corriente, escondida en ρv\rho v: la «distancia que faltaba» es v Δtv\,\Delta t, lo que recorre la carga en Δt\Delta t (el largo del cilindro ámbar). Sube v y el cilindro se alarga → cruzan más cargas por segundo. Sube A o ρ\rho y caben más por tajada. J=ρvJ=\rho v es la corriente por unidad de área —independiente de AA—, y I=∬SJ⋅dAI=\iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf A la recupera sumándola sobre la sección (el flujo de tu post de cálculo multivariable).

En una frase

La corriente es la carga que cruza la sección transversal por segundo: la densidad ρ\rho por el caudal volumétrico A vA\,v —el volumen que barre la sección cada segundo—.

I=ρ⋅(A v)⏟caudal vol. (m3/s)=ρ A v⇒Cm3⋅m3s=Cs=AI=\rho\cdot\underbrace{(A\,v)}_{\text{caudal vol. }(\text{m}^3/\text{s})}=\rho\,A\,v\quad\Rightarrow\quad \tfrac{\text{C}}{\text{m}^3}\cdot\tfrac{\text{m}^3}{\text{s}}=\tfrac{\text{C}}{\text{s}}=\text{A}

¿Dónde entra el tiempo? En la velocidad: vv trae los «metros por segundo» pegados, así que en cuanto multiplicas por A vA\,v el «por segundo» de la corriente ya está dentro. No hace falta un Δt\Delta t aparte —la velocidad es el tiempo entrando. (Y si lo prefieres con Δt\Delta t explícito: densidad × volumen barrido ρ (A v Δt)\rho\,(A\,v\,\Delta t) da la carga, y dividir entre Δt\Delta t devuelve la corriente.)

Lo que el cilindro deja claro es la densidad de corriente J\mathbf J: corriente por unidad de área, que apunta en la dirección del movimiento.

J=ρ v[Am2],I=∬SJ⋅dA\mathbf J=\rho\,\mathbf v\quad\left[\tfrac{\text{A}}{\text{m}^2}\right],\qquad I=\iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf A

J=ρv\mathbf J=\rho\mathbf v tiene unidades de A/m2\text{A}/\text{m}^2 y no depende de qué tan gruesa sea la sección; la corriente total II la recuperas integrándola sobre la sección, I=∬SJ⋅dAI=\iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf A —la misma integral de flujo del cálculo multivariable, ahora de carga que fluye en vez de un campo abstracto.

Las fuentes también son campos

Hasta aquí ρ\rho y J\mathbf J parecían números de una varilla. Pero igual que E\mathbf E y B\mathbf B, son campos: existen en cada punto del espacio. La densidad de carga ρ(r)\rho(\mathbf r) es un campo escalar —un número por punto, que pintamos como mapa de color— y la densidad de corriente J=ρv\mathbf J=\rho\mathbf v es un campo vectorial —una flecha por punto—, exactamente del tipo que manipulaste en cálculo multivariable. Mira cómo el vectorial nace de multiplicar el escalar por la velocidad:

arrastra las nubes y la sonda; gira la velocidad v abajo
dirección de v\mathbf v0°
rapidez ∣v∣|\mathbf v|1

Un escalar por un vector da un campo vectorial

ρ(r)⏟escalar= −0.08  ⋅  v⏟vector  =  J=(−0.08, 0)⏟∣J∣= 0.08\underbrace{\rho(\mathbf r)}_{\text{escalar}=\,-0.08}\;\cdot\;\underbrace{\mathbf v}_{\text{vector}}\;=\;\underbrace{\mathbf J=(-0.08,\,0)}_{|\mathbf J|=\,0.08}

En la sonda, la densidad de carga ρ\rho es un número (mapa de color: rojo +, azul −), y al multiplicarlo por la velocidad de deriva v nace la flecha J=ρv\mathbf J=\rho\mathbf v. Donde hay más carga, la flecha es más larga; todas apuntan en la dirección de v\mathbf v.

La lección: ρ\rho y J\mathbf J no son letras sueltas, son campos —igual que E\mathbf E y B\mathbf B—. Cambia el signo de una nube y J\mathbf J se invierte ahí (carga negativa a la deriva = corriente al revés). Pon ∣v∣=0|\mathbf v|=0 y la corriente desaparece aunque siga habiendo carga: sin movimiento no hay J\mathbf J. Estos son los campos-fuente que alimentan el lado derecho de Maxwell.

Que J\mathbf J sea un campo vectorial es lo que permite preguntarle su divergencia y su flujo: la conservación de la carga es justo ∇⋅J=−∂ρ/∂t\nabla\cdot\mathbf J=-\partial\rho/\partial t, y la corriente por una sección es su flujo I=∬SJ⋅dAI=\iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf A. Los operadores de M3 ya tienen sobre qué actuar.

Puente a Maxwell y antenas

Estos dos personajes, ρ\rho y J\mathbf J, son exactamente las fuentes que aparecen al lado derecho de Maxwell: la carga crea divergencia de E\mathbf E, y la corriente crea rotacional de B\mathbf B.

ρ es la fuente de E

∇⋅E=ρε0\nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}

La densidad de carga es la divergencia del campo eléctrico (la ley de Gauss). Cada grano de ρ\rho es un disco-fuente.

J es la fuente de B

∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}

La densidad de corriente alimenta el rotacional de B\mathbf B (Ampère-Maxwell). Una corriente enrolla campo magnético a su alrededor.

Y en el simulador FDTD de antenas, J\mathbf J es literalmente la fuente que inyecta el alimentador: una corriente que oscila en el tiempo en el punto de excitación, y de ahí brota la onda que ya manipulaste en Maxwell. Ya conoces a todos los personajes; toca verlos actuar juntos.