SuperNotes by yuri.rodrix

Notas de YuriRod


Página tipo blog en el que voy a publicar mis notas de aprendizaje, en especial de temas como matemáticas, física y quizá algo de programación

Redes neuronales
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Magnetostática

Estudia los campos magnéticos generados por corrientes estacionarias. En este régimen no hay variación temporal del campo eléctrico, por lo que las únicas fuentes del campo magnético son las corrientes eléctricas.



Ecuaciones de Maxwell

Ley de Gauss

Establece que la divergencia del campo magnético es cero, lo que implica que no existen monopolos magnéticos.

B=0\Large \nabla \cdot \vec{B} = 0SBdS=0\Large \oint_{S} \vec{B}\cdot d\mathbf{S} = 0

Ley de Ampère

Relaciona el rotor del campo magnético con la densidad de corriente estacionaria, indicando que las corrientes producen líneas de campo cerrado.

×B=μJ\Large \nabla \times \vec{B} = \mu\,\vec{J}CBd=μI\Large \oint_{C} \vec{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu\,I

Función de Green y su operador diferencial


Sea L(r)L(\mathbf{r}) un operador diferencial lineal. La función de Green G(r,r)G(\mathbf{r},\mathbf{r'}) cumple

L(r)G(rr)=δ(3)(rr)\Large L(\vec{r})\,\textcolor{#ae58ff}{G(\vec{r}-\vec{r'})} = \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{r'})

Multiplicando por una función x(r)x(\mathbf{r'}) y usando la propiedad de la delta:

L(r)[G(rr)x(r)]=δ(3)(rr)x(r)\Large L(\vec{r})\,\bigl[\textcolor{#ae58ff}{G(\vec{r}-\vec{r'})}\,x(\vec{r'})\bigr] = \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{r'})\,x(\vec{r'})

Integrando sobre el dominio Ω\Omega:

ΩL(r)[G(rr)x(r)]dΩ=Ωδ(3)(rr)x(r)dΩ\Large \int_{\Omega} L(\vec{r})\,\bigl[\textcolor{#ae58ff}{G(\vec{r}-\vec{r'})}\,x(\vec{r'})\bigr]\,d\Omega = \int_{\Omega} \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{r'})\,x(\vec{r'})\,d\Omega

Por linealidad, esto da directamente la solución de Lϕ=xL\phi = x:

L(r)[ΩG(rr)x(r)dΩ]=x(r)\Large L(\vec{r}) \left[ \int_{\Omega} \textcolor{#ae58ff}{G(\vec{r}-\vec{r'})}\,x(\vec{r'})\,d\Omega \right] = x(\vec{r})

El potencial Vectorial Magnético


Como B=0\nabla \cdot \vec{B} = 0, existe un campo vectorial A\vec{A} tal que

B=×A\vec{B} = \nabla \times \vec{A}

De la ley de Ampère en forma diferencial para campo magnético:

×B=μJ\nabla \times \vec{B} = \mu \,\vec{J}×(×A)=μJ\nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \mu \,\vec{J}

Recordar

2v=(v)    ×(×v)\large \nabla^2 \,\vec{v} = \nabla \bigl(\nabla \cdot \vec{v}\bigr) \;-\; \nabla \times \bigl(\nabla \times \vec{v}\bigr)

Aplicando la identidad vectorial sobre A\vec{A}:

2A=(A)×(×A)\nabla^2 \,\vec{A} = \nabla ( \nabla \cdot \vec{A} ) - \nabla \times ( \nabla \times \vec{A} )2A=(A)×(B)\nabla^2 \,\vec{A} = \nabla ( \nabla \cdot \vec{A} ) - \nabla \times ( \vec{B} )2A=(A)μJ\nabla^2 \,\vec{A} = \nabla ( \nabla \cdot \vec{A} ) - \mu \,\vec{J}

Gauge de Coulomb

A=0\large \nabla \cdot \vec{A} = 0

Con esto, la identidad anterior se simplifica:

2A=(A)μJ\nabla^2 \,\vec{A} = \cancel{\nabla ( \nabla \cdot \vec{A} )} - \mu \,\vec{J}
2A=μJ\nabla^2 \,\vec{A} = - \mu \,\vec{J}


Resolviendo la ecuación de Poisson vectorial



2A=μJ\Huge \nabla^2 \,\vec{A} = - \mu \,\vec{J}
L(r)y(r)=x(r)\Large L(\vec{r}) y(\vec{r}) = x(\vec{r})L(r)G(rr)=δ(3)(rr)\Large L(\vec{r})\,\textcolor{#ae58ff}{G(\vec{r}-\vec{r'})} = \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{r'})y(r)=[ΩG(rr)x(r)dΩ]\Large y(\vec{r})= \left[ \int_{\Omega}\textcolor{#ae58ff}{G(\vec{r}-\vec{r'})}\,x(\vec{r'}) d\Omega \right]\,
2A=μJ\Large \nabla^2 \,\vec{A} = - \mu \,\vec{J}2[14π1rr]=δ(3)(rr)\Large \nabla^2 \textcolor{#ae58ff}{\left[ -\frac{1}{4\pi} \frac{1}{| \vec{r}-\vec{r'} |} \right]} = \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{r'})A(r)=[Ω[14π1rr](μJ)dΩ]\Large A(\vec{r})= \left[ \int_{\Omega} \textcolor{#ae58ff}{\left[ -\frac{1}{4\pi} \frac{1}{| \vec{r}-\vec{r'} |} \right]} \, (- \mu \,\vec{J}) d\Omega \right]\,
A(r)=μ4πΩJ(r)rrdΩ\Large A(\vec{r})= \frac{\mu }{4\pi} \int_{\Omega} \frac{\vec{J}(\vec{r'})}{| \vec{r}-\vec{r'} |} \, d\Omega \,


Campo Magnético resultante

B=×A\Huge \vec{B} = \nabla \times \vec{A}B=×μ4πΩJ(r)rrdΩ\Large \vec{B} = \nabla \times \frac{\mu }{4\pi} \int_{\Omega} \frac{\vec{J}(\vec{r'})}{| \vec{r}-\vec{r'} |} \, d\Omega \,B=μ4πΩ×J(r)rrdV\Large \vec{B} = \frac{\mu }{4\pi} \int_{\Omega} \nabla \times \frac{\vec{J}(\vec{r'})}{| \vec{r}-\vec{r'} |} \, d V' \,

Recordar

×crr=c×rrrr3\large \nabla \times \frac{\vec{c}}{| \vec{r}-\vec{r'} |} = \vec{c} \times \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{| \vec{r}-\vec{r'} |^{3}}

B=μ4πΩJ(r)×rrrr3dV\Large \vec{B} = \frac{\mu }{4\pi} \int_{\Omega} \vec{J}(\vec{r'}) \times \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{| \vec{r}-\vec{r'} |^{3}} \, d V' \,


Potencial vectorial



A(r)=μ4πΩJ(r)rrdΩ\Large \vec{A}(\vec{r})= \frac{\mu }{4\pi} \int_{\Omega} \frac{\vec{J}(\vec{r'})}{| \vec{r}-\vec{r'} |} \, d\Omega \,
B=×A\large \vec{B} = \nabla \times \vec{A}
Fórmula para corrientes en hilo
A(r)=μ4πLIdrr\Large \vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu }{4\pi} \oint_{L} \frac{I d\vec{ℓ'} }{| \vec{r}-\vec{r'} |}

Campo directo



B(r)=μ4πΩJ(r)×[rr]rr3dV\Large \vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu }{4\pi} \int_{\Omega} \frac{\vec{J}(\vec{r'}) \times [\vec{r}-\vec{r'}]}{| \vec{r}-\vec{r'} |^{3}} \, d V' \,
Ley de Biot Savart


Fórmula para corrientes en hilo
B(r)=μ4πLId×[rr]rr3\Large \vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu }{4\pi} \oint_{L} \frac{I d\vec{ℓ'} \times[\vec{r}-\vec{r'}]}{| \vec{r}-\vec{r'} |^{3}}

Ejemplos


Hilo recto infinito I\Huge I

Potencial vectorial

A(r)  =  μ04πLIdrr\displaystyle \vec{A}(\vec{r}) \;=\; \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{L} \frac{I\,d\vec{\ell}'}{\lvert \vec{r} - \vec{r}'\rvert}
Para r=(r,0,0),  r=(0,0,z),  d=z^dz\text{Para } \vec{r} = (r,0,0),\; \vec{r}'=(0,0,z'),\; d\vec{\ell}'=\hat{z}\,dz'A(r)=z^μ0I4π+dzr2+(z)2=z^μ0I2πln(r)  \displaystyle \vec{A}(r) = \hat{z}\,\frac{\mu_0\,I}{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dz'}{\sqrt{r^2 + (z')^2}} = \hat{z}\,\frac{\mu_0\,I}{2\pi} \ln(r) \;B=×A\Large \vec{B} = \nabla \times \vec{A}Bφ(r)=ddr(μ0I2πln(r))=μ0I2πr\displaystyle B_{\varphi}(r) = -\,\frac{d}{dr}\Bigl(\tfrac{\mu_0\,I}{2\pi}\ln(r)\Bigr) = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}

Campo directo (Biot–Savart)

B(r)=μ04πLId×(rr)rr3\displaystyle \vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{L} \frac{I\,d\vec{\ell}' \times (\vec{r} - \vec{r}')}{\lvert \vec{r} - \vec{r}'\rvert^3}
Paraˊmetros: r=(r,0,0),  r=(0,0,z),  d=z^dz\text{Parámetros: } \vec{r}=(r,0,0),\; \vec{r}'=(0,0,z'),\; d\vec{\ell}'=\hat{z}\,dz'd×(rr)=rdz  y^,rr=r2+(z)2\displaystyle d\vec{\ell}' \times (\vec{r}-\vec{r}') = r\,dz'\;\hat{y}, \quad \lvert \vec{r} - \vec{r}'\rvert = \sqrt{r^2 + (z')^2}B(r)=y^μ0I4π+rdz[r2+(z)2]3/2=φ^μ0I2πr\displaystyle \vec{B}(r) = \hat{y}\,\frac{\mu_0\,I}{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{r\,dz'}{\bigl[r^2 + (z')^2\bigr]^{3/2}} = \hat{\varphi}\,\frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}

Espira circular (radio R\Huge R, corriente I\Huge I )

Potencial vectorial

A(r)=μ04πLIdrr\displaystyle \vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{L} \frac{I\,d\vec{\ell}'}{\lvert \vec{r} - \vec{r}'\rvert}
Para r=(0,0,z),  r=(Rcosφ,Rsinφ,0),  d=Rdφφ^\text{Para } \vec{r}=(0,0,z),\; \vec{r}'=(R\cos\varphi',\,R\sin\varphi',\,0),\; d\vec{\ell}'=R\,d\varphi'\,\hat{\varphi}'Aφ(0,0,z)=μ0I4π02πRdφR2+z2=μ0IR2R2+z2\displaystyle A_{\varphi}(0,0,z) = \frac{\mu_0\,I}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{R\,d\varphi'}{\sqrt{R^2 + z^2}} = \frac{\mu_0\,I\,R}{2\,\sqrt{R^2+z^2}}B=×A\Large \vec{B} = \nabla \times \vec{A}Bz(0,0,z)=1rr[rAφ(r,z)]r=0=μ0IR22(R2+z2)3/2\displaystyle B_{z}(0,0,z) = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl[r\,A_{\varphi}(r,z)\bigr]\Big|_{r=0} = \frac{\mu_0\,I\,R^2}{2\,(R^2 + z^2)^{3/2}}

Campo directo (Biot–Savart)

Aplicamos directamente la ley de Biot–Savart para obtener B\mathbf{B} en el eje de la espira.

B(0,0,z)=μ0I4π02πRdφ  (φ^×(zz^))[R2+z2]3/2\displaystyle \vec{B}(0,0,z) = \frac{\mu_0\,I}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{R\,d\varphi'\;\bigl(\hat{\varphi}' \times (-\,z\,\hat{z})\bigr)}{\bigl[R^2 + z^2\bigr]^{3/2}}

Recordar que φ^×z^=r^, r^ \hat{\varphi}'\times\hat{z} = \hat{r}',\ \hat{r}' sproyecta sobre el eje para la componente BzB_z

Bz(0,0,z)=μ0IR22(R2+z2)3/2\displaystyle B_{z}(0,0,z) = \frac{\mu_0\,I\,R^2}{2\,\bigl(R^2 + z^2\bigr)^{3/2}}

Gracias a la simetría, solo la componente zz se suma tras integrar en φ\varphi reproduciendo el mismo resultado.

Simulador

Code B Calculation Function