El curso de Variable Compleja estudia funciones de una variable compleja, es decir, funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números complejos $\mathbb{C}$. A diferencia del análisis real, el análisis complejo introduce propiedades y técnicas únicas, como la diferenciabilidad holomorfa, la integral de contorno y la teoría de los residuos, que tienen aplicaciones en física, ingeniería y matemáticas puras.

Número imaginario: $\Large i = \sqrt{-1}$

Número complejo: $\Large z \in \mathbb{C}$

$$\large z = x+yi \ \ \ \ \ \ \ \ , \set{x,y} \subset \mathbb{R} \ , \ k \in \mathbb{Z}$$$$\arg(z) = \arctan(y/x) = \theta1$$$$e^{\theta i} \equiv \exp(\theta i) \ \ = \ \ \cos(\theta)+ i \sin(\theta) \equiv cis(\theta)$$$$|z| \equiv abs(z) \ \ = \ \ \sqrt{x^2+y^2} = z \bar{z}$$$$\large z = \underset{rect}{\underbrace{x+yi}} = \underset{exp}{\underbrace{|z|e^{\theta i +2k \pi i}}} = \underset{polar}{\underbrace{ |z|(\cos\theta+ i \sin\theta )}} = \underset{parametric}{\underbrace{z_0 + \rho e^{\alpha i}}}$$

$$\bar{z} \equiv conj(z) \ \ = \ \ x-yi \ \ = \ \ |z| e^{- \theta i}$$

$$\bar{z} \ \ = \ \ |z|e^{- \theta i} = |z|(\cos(-\theta)+\sin(-\theta) i) = |z|(\cos(\theta) - \sin(\theta) i)$$

$$\Im(z) \equiv Im(z) \ \ = \ \ y$$$$\Re(z) \equiv Re(z) \ \ = \ \ x$$

Funciones complejas

$$f(z)=u(x,y) + i v(x,y)$$

Límite

Definición Límite de una función compleja:

Sea $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función compleja y sea $z_0$ un punto en el dominio de $f$. Se dice que el límite de $f(z)$ cuando $z$ tiende a $z_0$ es $L$, y se denota:

$$\lim_{z \to z_0} f(z) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$$$$\text{ tal que } 0 < |z - z_0| < \delta \Rightarrow |f(z) - L| < \epsilon.$$

Derivada

$$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}, \quad \text{si este límite existe.}$$

Ejemplo práctico:

Demuestra por definición que la derivada de $f(z) = \Im(z)$ no existe

$$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}, \quad \text{si este límite existe.}$$

Verificamos el límite cuando $z=x+iy$ se aproxima a $z_0=x_0 + i y_0$ en direción del eje $\Im$

$$\lim_{y \to y_0 \ , \ x= x_0} \frac{\Im(z) - \Im(z_0)}{x + i y - x_0 - i y_0 } = \lim_{y \to y_0} \frac{y - y_0 }{i \Delta y } = \lim_{y \to y_0} \frac{\Delta y }{i \Delta y } = -i$$

Verificamos el límite cuando $z=x+iy$ se aproxima a $z_0=x_0 + i y_0$ en direción del eje $\Re$

$$\lim_{x \to x_0 \ , \ y= y_0} \frac{\Im(z) - \Im(z_0)}{x + i y - x_0 - i y_0 } = \lim_{x \to x_0} \frac{y - y_0 }{ \Delta x } = \lim_{x \to x_0} \frac{ 0 }{\Delta x } = 0$$

Los límites son distintos, entonces no existe el Límite, y si no existe el Límite entonces no existe derivada

Función analítica

Cuando una función se puede expresar en serie de potencias convergente, además si:

$$f \text{ es holomorfa en } D \iff f'(z) \text{ existe } \forall z \in D.$$

En el plano complejo, holomorfa y analítica suelen usarse como sinónimos porque toda función holomorfa es automáticamente analítica, gracias al teorema de la expansión en serie de Taylor.

$$f \text{ es holomorfa en } D \iff f \text{ es analítica en } D$$$$f \text{ es analítica } \iff u(x,y) \text{ y } v(x,y) \text{ son func armónicas}$$

$$f(z)=u(x,y) + i v(x,y) \text{ es analítica }$$$$\Updownarrow$$$$u_x , u_y, v_x, v_y \text{ son contínuas } \quad \wedge \quad \underset{\text{C-R eq.}}{\underbrace{ u_x=v_y \ , \ u_y=-v_x }}$$

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Si $u(x, y)$ y $v(x, y)$ tienen derivadas parciales de primer orden continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en una región $D$, entonces $f(z)$ es analítica en $D$.

Ecuación de Cauchy-Riemann:

$$\large \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad , \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

Notación: $\Large \frac{\partial f}{\partial x} = f_x$

Función entera

$$f \text{ es entera} \iff f \text{ es analítica en } \mathbb{C}.$$

Función meromorfa

$$f \text{ es meromorfa en } D \iff f \text{ es analítica en } D \text{ excepto en un conjunto discreto de polos.}$$

Función armónica

$$\Delta f = 0, \quad \text{donde } \underset{Laplacian}{\underbrace{\Delta}} = \underset{Gradient}{\underbrace{ \nabla}}^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}.$$

Puntos Importantes

Punto singular (o singularidad)

$$z_0 \text{ es un punto singular de } f \iff f \text{ no es analítica en } z_0, \text{ pero es analítica en un entorno de } z_0.$$

Polo de orden $n$

$$\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^n f(z) \neq 0, \quad \text{pero es finito.}$$

Un punto $z_0$ es un polo de orden $n$ si $f(z)$ se puede escribir como:$$f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_0)^n}$$ donde $g(z)$ es analítica y $g(z_0) \neq 0$.

Esencia singularidad esencial

$$\lim_{z \to z_0} f(z) \text{ no existe ni es finito.}$$

Cero de orden $n$

$$f(z) = (z - z_0)^n g(z), \quad \text{donde } g(z) \text{ es analítica y } g(z_0) \neq 0.$$

Tabla de funciones

Parametrización

Integrales

Integral de línea

Sea $C$ una curva suave parametrizada por $\gamma(t) = x(t) + i y(t), \quad a \leq t \leq b.$. La integral de línea de una función compleja $f(z)$ a lo largo de $C$ se define como:

$$\int_{C} f(z) \, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt$$

donde $\gamma'(t) = \frac{d\gamma}{dt} = x'(t) + i y'(t)$ es la derivada de la parametrización.

Teorema de Barrow

Sea $f$ una función analítica en un dominio $D$ y sea $F$ una primitica de $f$ en $D$, Entonces, para cualquier curva suave $\gamma$ en $D$ que une $z_0$ con $z_1$, se cumple:

$$\int_{\gamma} f(z) \, dz =\eval{F(z)}_{z_0}^{z_1} = F(z_1)-F(z_0).$$

En particular, si $\gamma$ es una curva cerrada entonces:

$$\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0.$$

Si $F$ es primitiva de $f$ se cumple que $F'(z)=f(z) \quad \forall z \in \mathbb{C}$