SuperNotes by yuri.rodrix

Notas de YuriRod


Página tipo blog en el que voy a publicar mis notas de aprendizaje, en especial de temas como matemáticas, física y quizá algo de programación

Redes neuronales
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Variable compleja

El curso de Variable Compleja estudia funciones de una variable compleja, es decir, funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números complejos C\mathbb{C}. A diferencia del análisis real, el análisis complejo introduce propiedades y técnicas únicas, como la diferenciabilidad holomorfa, la integral de contorno y la teoría de los residuos, que tienen aplicaciones en física, ingeniería y matemáticas puras.

Número imaginario: i=1\Large i = \sqrt{-1}
Número complejo: zC\Large z \in \mathbb{C}
z=x+yi        ,{x,y}R , kZ\large z = x+yi \ \ \ \ \ \ \ \ , \set{x,y} \subset \mathbb{R} \ , \ k \in \mathbb{Z}arg(z)=arctan(y/x)=θ1\arg(z) = \arctan(y/x) = \theta1 eθiexp(θi)  =  cos(θ)+isin(θ)cis(θ)e^{\theta i} \equiv \exp(\theta i) \ \ = \ \ \cos(\theta)+ i \sin(\theta) \equiv cis(\theta) zabs(z)  =  x2+y2=zzˉ|z| \equiv abs(z) \ \ = \ \ \sqrt{x^2+y^2} = z \bar{z}z=x+yirect=zeθi+2kπiexp=z(cosθ+isinθ)polar=z0+ρeαiparametric\large z = \underset{rect}{\underbrace{x+yi}} = \underset{exp}{\underbrace{|z|e^{\theta i +2k \pi i}}} = \underset{polar}{\underbrace{ |z|(\cos\theta+ i \sin\theta )}} = \underset{parametric}{\underbrace{z_0 + \rho e^{\alpha i}}}
zˉconj(z)  =  xyi  =  zeθi\bar{z} \equiv conj(z) \ \ = \ \ x-yi \ \ = \ \ |z| e^{- \theta i}

zˉ  =  zeθi=z(cos(θ)+sin(θ)i)=z(cos(θ)sin(θ)i)\bar{z} \ \ = \ \ |z|e^{- \theta i} = |z|(\cos(-\theta)+\sin(-\theta) i) = |z|(\cos(\theta) - \sin(\theta) i)

(z)Im(z)  =  y\Im(z) \equiv Im(z) \ \ = \ \ y (z)Re(z)  =  x\Re(z) \equiv Re(z) \ \ = \ \ x

Funciones complejas

z0=1.000+1.000i\textcolor{#ee00ab}{z_0} = -1.000 + -1.000 i z1=z0+1.000+1.000i\textcolor{#7c58ff}{z_1} = \textcolor{#ee00ab}{z_0} + 1.000 + 1.000 i C:zz0=r=z1z0=1.414C: |z -z_0| = r= | \textcolor{#7c58ff}{z_1} - \textcolor{#ee00ab}{z_0}| = 1.414
f(z)=z2f(z)= z^2
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y) + i v(x,y)

Límite

Definición Límite de una función compleja:

Sea f:CCf: \mathbb{C} \to \mathbb{C} una función compleja y sea z0z_0 un punto en el dominio de ff. Se dice que el límite de f(z)f(z) cuando zz tiende a z0z_0 es LL, y se denota:

limzz0f(z)=L    ϵ>0,δ>0\lim_{z \to z_0} f(z) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 tal que 0<zz0<δf(z)L<ϵ.\text{ tal que } 0 < |z - z_0| < \delta \Rightarrow |f(z) - L| < \epsilon.

limzz0f(z)\exists \lim_{z \to z_0} f(z) cuando al aproximarse zz a z0z_0 desde todas las direcciónes, f(z)f(z) siempre se aproxima a LL.

Derivada

f(z0)=limzz0f(z)f(z0)zz0,si este lıˊmite existe.f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}, \quad \text{si este límite existe.}
Ejemplo práctico:

Demuestra por definición que la derivada de f(z)=(z)f(z) = \Im(z) no existe

f(z0)=limzz0f(z)f(z0)zz0,si este lıˊmite existe.f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}, \quad \text{si este límite existe.}

Verificamos el límite cuando z=x+iyz=x+iy se aproxima a z0=x0+iy0z_0=x_0 + i y_0 en direción del eje \Im

limyy0 , x=x0(z)(z0)x+iyx0iy0=limyy0yy0iΔy=limyy0ΔyiΔy=i \lim_{y \to y_0 \ , \ x= x_0} \frac{\Im(z) - \Im(z_0)}{x + i y - x_0 - i y_0 } = \lim_{y \to y_0} \frac{y - y_0 }{i \Delta y } = \lim_{y \to y_0} \frac{\Delta y }{i \Delta y } = -i

Verificamos el límite cuando z=x+iyz=x+iy se aproxima a z0=x0+iy0z_0=x_0 + i y_0 en direción del eje \Re

limxx0 , y=y0(z)(z0)x+iyx0iy0=limxx0yy0Δx=limxx00Δx=0 \lim_{x \to x_0 \ , \ y= y_0} \frac{\Im(z) - \Im(z_0)}{x + i y - x_0 - i y_0 } = \lim_{x \to x_0} \frac{y - y_0 }{ \Delta x } = \lim_{x \to x_0} \frac{ 0 }{\Delta x } = 0

Los límites son distintos, entonces no existe el Límite, y si no existe el Límite entonces no existe derivada

Función analítica

Cuando una función se puede expresar en serie de potencias convergente, además si:

f es holomorfa en D    f(z) existe zD.f \text{ es holomorfa en } D \iff f'(z) \text{ existe } \forall z \in D.

En el plano complejo, holomorfa y analítica suelen usarse como sinónimos porque toda función holomorfa es automáticamente analítica, gracias al teorema de la expansión en serie de Taylor.

f es holomorfa en D    f es analıˊtica en Df \text{ es holomorfa en } D \iff f \text{ es analítica en } Df es analıˊtica     u(x,y) y v(x,y) son func armoˊnicasf \text{ es analítica } \iff u(x,y) \text{ y } v(x,y) \text{ son func armónicas}
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analıˊtica f(z)=u(x,y) + i v(x,y) \text{ es analítica } \Updownarrowux,uy,vx,vy son contıˊnuas ux=vy , uy=vxC-R eq.u_x , u_y, v_x, v_y \text{ son contínuas } \quad \wedge \quad \underset{\text{C-R eq.}}{\underbrace{ u_x=v_y \ , \ u_y=-v_x }}

Si u(x,y) u(x, y) y v(x,y)v(x, y) tienen derivadas parciales de primer orden continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en una región DD, entonces f(z)f(z) es analítica en DD.

Ecuación de Cauchy-Riemann:
ux=vy,uy=vx\large \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad , \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

Notación: fx=fx\Large \frac{\partial f}{\partial x} = f_x

Función entera
f es entera    f es analıˊtica en C.f \text{ es entera} \iff f \text{ es analítica en } \mathbb{C}.
Función meromorfa
f es meromorfa en D    f es analıˊtica en D excepto en un conjunto discreto de polos.f \text{ es meromorfa en } D \iff f \text{ es analítica en } D \text{ excepto en un conjunto discreto de polos.}
Función armónica
Δf=0,donde ΔLaplacian=Gradient2=2x2+2y2.\Delta f = 0, \quad \text{donde } \underset{Laplacian}{\underbrace{\Delta}} = \underset{Gradient}{\underbrace{ \nabla}}^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}.

Puntos Importantes

Punto singular (o singularidad)
z0 es un punto singular de f    f no es analıˊtica en z0, pero es analıˊtica en un entorno de z0.z_0 \text{ es un punto singular de } f \iff f \text{ no es analítica en } z_0, \text{ pero es analítica en un entorno de } z_0.
Polo de orden nn
limzz0(zz0)nf(z)0,pero es finito.\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^n f(z) \neq 0, \quad \text{pero es finito.}

Un punto z0z_0 es un polo de orden nn si f(z)f(z) se puede escribir como:f(z)=g(z)(zz0)nf(z) = \frac{g(z)}{(z - z_0)^n} donde g(z)g(z) es analítica y g(z0)0g(z_0) \neq 0.

Esencia singularidad esencial
limzz0f(z) no existe ni es finito.\lim_{z \to z_0} f(z) \text{ no existe ni es finito.}
Cero de orden nn
f(z)=(zz0)ng(z),donde g(z) es analıˊtica y g(z0)0.f(z) = (z - z_0)^n g(z), \quad \text{donde } g(z) \text{ es analítica y } g(z_0) \neq 0.

Tabla de funciones

Parametrización

z0=3.000+3.000i\textcolor{#15e272}{z_0} = -3.000 + -3.000 i z1=5.000+2.000i\textcolor{#f14e0e}{z_1} =5.000 + 2.000 i 0t1 , z(t)=z0+t(z1z0)0 \leq t \leq 1 \ , \ z(t)= \textcolor{#15e272}{z_0} +t( \textcolor{#f14e0e}{z_1}- \textcolor{#15e272}{z_0} )
z0=1.000+1.000i\textcolor{#15e272}{z_0} = 1.000 + 1.000 i z1=5.000+2.000i\textcolor{#f14e0e}{z_1} =5.000 + 2.000 i 0t2π , z(t)=z0+eti(z1z0)0 \leq t \leq 2\pi \ , \ z(t)= \textcolor{#15e272}{z_0} + e^{t i}( \textcolor{#f14e0e}{z_1}- \textcolor{#15e272}{z_0} )

Integrales

Integral de línea

Sea CC una curva suave parametrizada por γ(t)=x(t)+iy(t),atb.\gamma(t) = x(t) + i y(t), \quad a \leq t \leq b.. La integral de línea de una función compleja f(z)f(z) a lo largo de CC se define como:

Cf(z)dz=abf(γ(t))γ(t)dt\int_{C} f(z) \, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt

donde γ(t)=dγdt=x(t)+iy(t) \gamma'(t) = \frac{d\gamma}{dt} = x'(t) + i y'(t) es la derivada de la parametrización.

Teorema de Barrow

Sea ff una función analítica en un dominio DD y sea FF una primitica de ff en DD, Entonces, para cualquier curva suave γ \gamma en D D que une z0 z_0 con z1z_1, se cumple:

γf(z)dz=F(z)z0z1=F(z1)F(z0).\int_{\gamma} f(z) \, dz =\eval{F(z)}_{z_0}^{z_1} = F(z_1)-F(z_0).

En particular, si γ\gamma es una curva cerrada entonces:

γf(z)dz=0.\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0.

Si FF es primitiva de ff se cumple que F(z)=f(z)zC F'(z)=f(z) \quad \forall z \in \mathbb{C}