Señales

Muestreo de una señal

Sea una señal continua en el tiempo $x(t)$ , su muestreo se define como

x[n] = x(nT), \quad \text{donde} \quad T = \frac{1}{f_s}

Equivalentemente, podemos ver el muestreo como el producto de la señal continua y un tren de impulsos unitarios $p_T(t)$ :

x_s(t) = x(t)\,p_T(t), \quad \text{donde} \quad p_T(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - kT)

Representación espectral

Dado que la señal muestreada $\large x_s(t) = x(t) \cdot p_T(t)$ (por propiedad de convolución) su espectro es $X_s(f)=X(f)\;\ast\;P_T(f)$

$P_T(f)=\mathcal{F}\{p_T(t)\} =\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta\bigl(f - m\,f_s\bigr),\quad f_s=\tfrac{1}{T}$ La transformada de Fourier del tren de impulsos unitarios $p_T(t)$ , es otro tren de impulsos en frecuencia

Finalmente, al convolucionar $X(f)$ con el tren de deltas en frecuencia se obtiene

X_s(f)=X(f)*\Bigl(\tfrac{1}{T}\sum_{m}\delta(f-mf_s)\Bigr)=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}X(f - m\,f_s).

Es decir, el espectro original $X(f)$ se replica cada $f_s$ Hz, provocando aliasing si las réplicas se solapan.

Para evitar aliasing, se aplica un filtro antialiasing pasabajo con frecuencia de corte $f_c \le f_s/2$ antes del muestreo:

x_{\text{fil}}(t) = x(t) * h_{\text{LP}}(t), \quad H_{\text{LP}}(f) = \begin{cases} 1, & |f| \le f_c,\\ 0, & |f| > f_c. \end{cases}

Tras el muestreo, la reconstrucción ideal se realiza con un filtro pasabajo ideal de corte $f_s/2$ , interpolando mediante la función sinc:

\hat{x}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,\mathrm{sinc}\!\bigl(\tfrac{t-nT}{T}\bigr), \quad \mathrm{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}.

Muestreo y espectro, simulación

x(t)=x_1(t)+x_2(t) +0.2

\large x_s(t)=x(t) \cdot p_T(t)

\small x(t)= \cos\left(2\cdot\pi\cdot3\right)+\cos\left(2\cdot\pi\cdot2\right)+0.2

$f_s : 9 \ \ \ | \ \ \ T_s : 0.11 \text{ s}$

$N : 20$

$freq : 3 \text{ Hz}$

$freq_2 : 2 \text{ Hz}$

$c_0 : 0.2$

$f_{Shift} : \textcolor{#77FF77}{0} \text{ Hz} \ \ \ | \ \ \ w_{Shift} : 2\pi0 \text{ rad}$

$t_{Shift} : \textcolor{#44AAFF}{0}\text{ s}$

\small X(f)=X_1(f)+X_2(f) +0.2\ \delta (f)

X_s(f)=X(f) \ \ast \ P_T(f)

\textcolor{#00cc99}{X_s}({\textcolor{#f14e0e}{5}}) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{- i 2 \pi \textcolor{#f14e0e}{5} n/f_s} = 2.32 + -0.04i

\small X(f)= \frac{1}{2} \delta \left( |f| - \frac{2 \pi 3}{2 \pi } \right) + \frac{1}{2} \delta \left( |f| - \frac{2 \pi 2}{2 \pi } \right) + 0.2 \delta(f)

$[k] : 5$

$animDuration : 2000$

N = fs \times T = 9 \times \frac{1}{freq} = 9\times 0.33 = 3.00 = 3

Recordar

Teorema de escalamiento: $\quad x(a\,t) \ \xrightarrow{\mathcal{F}} \ \frac{1}{\lvert a\rvert} X\!\left( \frac{f}{a}\right)$

Espectro de: $\quad \cos(t) \ \xrightarrow{\mathcal{F}} \ \frac{1}{2} \ \delta \!\left( |f| - \frac{1}{2\pi}\right)$

Escalamiento del impulso: $\quad \delta(at) = \frac{1}{|a|} \delta(t)$

\quad \cos(t) \ \xrightarrow{\mathcal{F}} \ \frac{1}{2} \ \delta \!\left( |f| - \frac{1}{2\pi}\right)

\quad \cos(at) \ \xrightarrow{\mathcal{F}} \ \frac{1}{2|a|} \ \delta \!\left( \left| \frac{f}{a} \right| - \frac{1}{2\pi}\right)

\quad \cos(at) \ \xrightarrow{\mathcal{F}} \ \frac{1}{2|a|} \ \delta \! \left( \frac{1}{a} \left( |f| - \frac{a}{2\pi} \right) \right)

\quad \cos(at) \ \xrightarrow{\mathcal{F}} \ \frac{a}{2|a|} \ \delta \! \left( |f| - \frac{a}{2\pi} \right)

Convolución

\Large \textcolor{#ae58ff}{P_T(f)} \normalsize =\mathcal{F}\{p_T(t)\} =\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta\left( f - m\,f_s\right),\quad f_s=\tfrac{1}{T} = 9

\Large \textcolor{#ee00ab}{\widetilde{X}(f)} \normalsize =\widetilde{\mathcal{F}}\{x(t)\}

\textcolor{#00cc99}{X_s(f)} = \textcolor{#ee00ab}{\widetilde{X}(f)} \ast\textcolor{#ae58ff}{P_T(f)} =\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\widetilde{X}(f)\delta (f - mf_s)

Recuperación de la señal

Al muestrear x(t), su espectro $X(f)$ se replica cada $f_s$ Hz. Para reconstruir la señal continua x(t), basta conservar la banda base $-\tfrac{f_s}{2} \le f \le \tfrac{f_s}{2}$ y eliminar las réplicas. Esto se logra aplicando un filtro ideal pasa-bajos de ancho $f_s$ y ganancia $1/T$ , es decir que en el dominio de la frecuencia multiplicar por: $\displaystyle H(f)=\frac{1}{T}\,\mathrm{rect}\left( \tfrac{f}{f_s}\right)$ En el dominio del tiempo, este filtrado equivale a la convolución con la función sinc: $\displaystyle h(t) = \mathrm{sinc}\left( t/T\right) = \frac{\sin(\pi t/T)}{\pi t/T}$

Las funciones notadas con $h(t)$ y $H(f)$ aparecen en el contexto de sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI) y su análisis en el dominio de la frecuencia.

De Hertz a radianes

La frecuencia en Hertz $f$ y la frecuencia angular en radianes por segundo $\omega$ están relacionadas por $\omega = 2\pi f$

Funciones Especiales

Rect

\textcolor{#80F700}{\text{rect}}(t) = \begin{cases} 1, & |t| < \tfrac{1}{2},\\ \tfrac12, & |t| = \tfrac{1}{2},\\ 0, & |t| > \tfrac{1}{2}. \end{cases}

\mathcal{F}\{\textcolor{#80F700}{\text{rect}}(t)\} = \text{ \textcolor{#f14e0e}{\text{sinc}}}(\pi f)

Sinc

\textcolor{#f14e0e}{\text{sinc}} (t) = \frac{\sin(t)}{t}, \qquad \textcolor{#f14e0e}{\text{sinc}}(0) = 1.

\mathcal{F}\{ \textcolor{#f14e0e}{\text{sinc}} (\pi t)\} = \textcolor{#80F700}{\text{rect}}(f)

Recordar el Teorema de escalamiento: $\quad \large x(a\,t)\; \xrightarrow{\mathcal{F}}\;\frac{1}{\lvert a\rvert}\;X\!\Bigl(\frac{f}{a}\Bigr)$

rect\!\Bigl(\frac{t}{\tau}\Bigr) \; \xrightarrow{\mathcal{F}}\; \tau\; sinc(\tau\,f)

sinc\!\Bigl(\frac{t}{\tau}\Bigr) \; \xrightarrow{\mathcal{F}}\; \tau\; rect(\tau\,f)

Sistemas LTI

Un sistema LTI (Lineal e Invariante en el Tiempo) es un modelo matemático que permite caracterizar completamente el comportamiento de cualquier entrada mediante convolución con su respuesta al impulso $h(t)$ y, en el dominio de la frecuencia, mediante su función de transferencia $H(f)$ .

Modulación Angular

\phi(t) = A \cos(\theta(t)) \ \ ; \ \ w_i = \frac{d\theta}{dt}

Técnica de modulación donde el ángulo de la portadora se hace variar con la señal moduladora. Existen 2 posibilidades:

Modulación de Fase (PM)
Modulación de Frecuencia (FM)

Modulación de Fase (PM)

En la Modulación de Fase, la fase instantánea del ángulo, $\theta(t)$ , es proporcional a la señal moduladora $m(t)$ .

\theta(t)= w_c t + k_p m(t)

La señal PM resultante es:

\phi_{PM}(t)= A \cos(w_c t + k_p m(t))

Notación PM:

$\phi_{PM}(t)$ : Es la onda de fase modulada.
$A$ : Es la amplitud de la onda portadora.
$w_c$ : Es la frecuencia angular de la portadora, en radianes por segundo ( $w_c = 2\pi f_c$ ).
$m(t)$ : Es la señal moduladora (la información, ej: una señal de audio).
$k_p$ : Es la constante de desviación de fase, determina cuánta fase cambia por cada voltio de la señal moduladora. Sus unidades son radianes/voltio.
$t$ : Representa el tiempo.

Modulación de Frecuencia (FM)

En la Modulación de Frecuencia, la frecuencia instantánea, $w_i(t)$ , varía linealmente con la señal moduladora $m(t)$ .

w_i(t) = w_c + k_f m(t)

El ángulo $\theta(t)$ es la integral de la frecuencia instantánea, ya que $w_i = d\theta/dt$ :

\theta(t)= \int_0^t w_i(\tau)d\tau = w_c t + k_f \int_0^t m(\tau)d\tau

Resultando en la señal de FM:

\phi_{FM}(t)= A \cos\left(w_c t + k_f \int_0^t m(\tau)d\tau\right)

Notación FM:

$\phi_{FM}(t)$ : Es la onda de frecuencia modulada.
$w_i(t)$ : Es la frecuencia angular instantánea.
$k_f$ : Es la constante de desviación de frecuencia, indica cuánto cambia la frecuencia por cada voltio de la señal moduladora. Sus unidades son (radianes/segundo)/voltio.
$\int_0^t m(\tau)d\tau$ : Es la integral de la señal moduladora, lo que significa que la desviación de fase en FM es proporcional a la integral del mensaje. $\tau$ (tau) es solo una variable de integración.
Los demás símbolos ( $A$ , $w_c$ , $m(t)$ ) tienen el mismo significado que en PM.

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Notas de YuriRod

Señales

Muestreo de una señal

Representación espectral

Muestreo y espectro, simulación

Convolución

Recuperación de la señal

De Hertz a radianes

Funciones Especiales

Rect

Sinc

Sistemas LTI

Modulación Angular

Modulación de Fase (PM)

Notación PM:

Modulación de Frecuencia (FM)

Notación FM:

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Convolución

Recuperación de la señal

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Rect

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Modulación Angular

Modulación de Fase (PM)

Notación PM:

Modulación de Frecuencia (FM)

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