Ecuaciones de Maxwell

Los actores: campos y fuentes

Antes de leer las leyes conviene tener claros sus personajes. Dos son campos —una flecha en cada punto del espacio— y ya los conoces: el eléctrico $\mathbf E$ y el magnético $\mathbf B$. Los que suelen verse extraños son las fuentes (quién crea esos campos) y un par de gemelos que aparecen al meter materia.

Con esto, las leyes ya no tienen símbolos sueltos: $\mathbf E$ y $\mathbf B$ son los campos, $\rho$ y $\mathbf J$ las fuentes, $\varepsilon$ y $\mu$ el material. Vamos a ellas.

Las cuatro leyes de un vistazo

En su forma diferencial —la que usaremos casi siempre— las cuatro ecuaciones son solo el operador ∇ actuando sobre $\mathbf E$ y $\mathbf B$: dos divergencias (¿brotan?) y dos rotacionales (¿giran?).

Fíjate en la simetría: div, div, rot, rot. Los dos rotacionales son los que se acoplan y, como veremos, producen la onda.

Gauss: las fuentes del campo

La ley de Gauss eléctrica dice que el flujo de $\mathbf E$ a través de una superficie cerrada mide la carga encerrada. Es, palabra por palabra, el teorema de la divergencia que verificaste arrastrando una caja:

Pasar de una a la otra es el teorema de la divergencia: el flujo por el borde igual a la integral de la divergencia dentro. Aquella cajita del post anterior, cuyo «flujo / área» convergía a $\nabla\cdot\mathbf F$, era ya la ley de Gauss esperando una carga. Ponle cargas y compruébalo: arrastra las cargas + y −, mueve y agranda la superficie gaussiana, y mira cómo el flujo medido por su borde sigue exactamente a la carga que encierra —sin importar la forma ni el tamaño:

La lección de fondo: el flujo no ve la geometría de la superficie, solo cuánta fuente atrapa. Si encierras un dipolo completo el flujo se anula, porque lo que brota de la carga positiva entra en la negativa —es $\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon_0$ integrada sobre la región. Para el campo magnético esa misma cuenta da siempre cero:

$\nabla\cdot\mathbf B=0$ —el flujo neto por cualquier superficie cerrada es nulo, porque no existen cargas magnéticas de donde broten las líneas. En el laboratorio de arriba sería como no poder colocar nunca una carga aislada: todo lo que entra, sale. Las líneas de $\mathbf B$ no tienen principio ni fin, siempre se cierran sobre sí mismas.

Faraday y Ampère: el acople que crea la onda

Las dos leyes interesantes son las de rotacional, porque cada una pone a un campo a depender del cambio temporal del otro. La de Faraday ya la enunciamos: un campo magnético variable induce un campo eléctrico que lo rodea.

Compruébalo moviendo un imán. Atravesando la espira, el flujo magnético $\Phi$ sube y baja; su tasa de cambio $-d\Phi/dt$ —la derivada de tu primer post, aplicada al flujo de M3— es exactamente la FEM que mueve la corriente:

La de Ampère-Maxwell es la recíproca, con el aporte genial de Maxwell: además de la corriente real $\mathbf J$, un campo eléctrico que cambia en el tiempo también enrolla un campo magnético. Ese término $\mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf E/\partial t$ es la corriente de desplazamiento:

Sin ese término de Maxwell las ecuaciones serían inconsistentes y no existiría la luz. Con él, Faraday y Ampère quedan entrelazadas: un $\mathbf E$ cambiante crea $\mathbf B$, que al cambiar crea $\mathbf E$, que al cambiar crea $\mathbf B$… y eso, soltado en el espacio, se propaga.

De Maxwell a la ecuación de onda

Las dos leyes de rotacional están entrelazadas: $\mathbf E$ depende de cómo cambia $\mathbf B$ y viceversa. Para ver qué hace cada campo por su cuenta hay que desacoplarlas, y el truco es tomar el rotacional de una y meter la otra dentro. Hagámoslo en el vacío ($\rho=0$, $\mathbf J=0$), donde las dos rot quedan así:

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   Aplica el rotacional a ambos lados de Faraday. Como las derivadas espaciales ($\nabla\times$) y la temporal ($\partial/\partial t$) conmutan, sacamos la derivada del tiempo afuera:

   $$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=\nabla\times\!\left(-\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}\right)=-\dfrac{\partial}{\partial t}\big(\nabla\times\mathbf B\big)$$
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   Dentro apareció $\nabla\times\mathbf B$, y eso es justo lo que dice Ampère. Lo sustituimos:

   $$=-\dfrac{\partial}{\partial t}\!\left(\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}\right)=-\mu_0\varepsilon_0\,\dfrac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}$$

   Ya tenemos el lado derecho: dos derivadas en el tiempo seguidas → $\partial^2/\partial t^2$. Falta el lado izquierdo.

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   El lado izquierdo $\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)$ se simplifica con una identidad vectorial estándar; el primer término se anula porque en el vacío $\nabla\cdot\mathbf E=0$ (Gauss sin cargas):

   $$\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=\nabla\big(\underbrace{\nabla\cdot\mathbf E}_{=\,0\ \text{(vacío)}}\big)-\nabla^2\mathbf E=-\nabla^2\mathbf E$$
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   Los pasos 1–2 y el paso 3 son la misma cosa, $\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)$, calculada de dos formas. Las igualamos y se cancela el signo:

   $$-\nabla^2\mathbf E=-\mu_0\varepsilon_0\,\dfrac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\,\dfrac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\,}$$

Eso de la caja es la ecuación de onda. Para leer su velocidad, compárala con la forma genérica que rige una cuerda o el sonido:

La velocidad sale escrita en las constantes del vacío. Al meter los números, Maxwell obtuvo $3\times10^8$ m/s —la velocidad de la luz medida en el laboratorio— y dedujo que la luz es una onda electromagnética:

Hay una ecuación idéntica para $\mathbf B$ (toma el rotacional de Ampère y mete Faraday, mismos cuatro pasos). Toda la radio, la óptica y las antenas viven en esa igualdad —y fíjate de dónde salió cada pieza: el $\nabla\times$ y el $\nabla\cdot$ de tu post de cálculo multivariable, y la $\partial^2/\partial t^2$ de tu post de derivadas.

Ondas planas: E ⟂ B ⟂ k

La solución más simple de la ecuación de onda es la onda plana: $\mathbf E$ y $\mathbf B$ oscilan en fase, perpendiculares entre sí y a la dirección de avance $\mathbf k$.

Manipúlala en 3D. El campo eléctrico (rojo) oscila en un plano, el magnético (azul) en el plano perpendicular, y toda la estructura avanza en k (verde). Sube la frecuencia y verás la onda comprimirse sin cambiar su velocidad; cambia a polarización circular y el vector $\mathbf E$ girará formando una hélice.

Puente a antenas: las dos caras discretas

Aquí se cierra el círculo de la serie. Toma las dos leyes de rotacional —Faraday y Ampère— y reemplaza cada derivada temporal por una diferencia finita, y cada $\nabla\times$ por su versión discreta sobre la malla. Lo que obtienes es un par de actualizaciones que se alternan en el tiempo — el leapfrog:

Primero $\mathbf H$ avanza medio paso usando el rotacional de $\mathbf E$; luego $\mathbf E$ avanza medio paso usando el rotacional de $\mathbf H$; y así, brincando uno sobre otro, la onda se propaga sola por la malla. Ese $\nabla\times$ se calcula exactamente como la sonda del post anterior estimaba $(\nabla\times\mathbf F)_z$: un cociente incremental entre celdas vecinas. Nada nuevo bajo el sol — solo Maxwell discretizado en el tiempo.

Y esto es lo que produce: una carga que acelera desprende campos que se sueltan y viajan a $c$. Una antena es eso —la onda plana de arriba, ahora generada por una fuente $\mathbf J$ y radiada al espacio:

Ese es el corazón del simulador FDTD. Si reconociste cada término de estas dos líneas, ya entiendes por qué una antena radia: es la onda plana que acabas de manipular, generada por una fuente y soltada al espacio, resuelta paso a paso en la GPU.

El siguiente paso es darle forma a esa radiación. En Antenas: fundamentos y tipos verás qué controla el patrón, la ganancia y la dirección del haz —y manipularás el patrón de un dipolo y de un array— antes de calcularlo todo en el simulador FDTD de antenas.